Chapitre 6 : DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLES, CERCLE CIRCONSCRIT
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
La droite d1 est la médiatrice du segment [AB]
1) Si un point est situé à la même distance des extrémités d'un segment.
Alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
2) Si un point est sur la médiatrice d'un segment
Alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes un un point le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Soit I le point d'intersection de (d1) médiatrice de [AB] et (d2) médiatrice de [BC].
1) Comme I appartient à (d1) médiatrice de [AB]
Alors IA=IB
2) Comme I appartient à (d2) médiatrice de [BC]
Alors IB=IC
D'après 1) et 2) IA=IC d'après la propriété 2 I appartient à la médiatrice de [AC] la droite (d3)
Donc I est le point d'intersection des trois médiatrices
Comme IA=IB=IC
Alors le cercle de centre I de rayon IA passe par A, B et C c'est le cercle circonscrit au triangle ABC.
Remarque
: Il suffit de construire les médiatrices de deux côtés
d'un triangle pour construire le centre du cercle circonscrit à
ce triangle.
La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la droite passant par ce sommet, perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Un triangle a trois hauteurs
La
droite (h) est la hauteur issue de F
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point.
Les
hauteurs du triangle ABC correspondent aux médiatrices du
triangle IJK
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par son sommet et qui le partage en deux angles de même mesure.
Si un point est sur la bissectrice d'un angle
Alors il est situé à la même distance des deux côtés de l'angle.
Si un point est situé à la même distance des deux côtés d'un angle
Alors il est situé sur la bissectrice de cet angle.
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit.
On procède comme dans la démonstration du théorème sur les médiatrices en utilisant les propriétés 3) et 4).
Dans un triangle une médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par le sommet de ce triangle et le milieu du côté opposé.
Un triangle a trois médianes.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité de ce triangle.
Si un triangle est rectangle
Alors
l'hypoténuse de ce triangle est un
diamètre du cercle circonscrit.
Comme
(IJ) et (BC) sont perpendiculaires à (AB) alors elles sont
parallèles entre elles.
D'après le deuxième
théorème des milieux dans le triangle ABC la droite IJ
passe par I milieu de [AB] et est parallèle à (BC) elle
passe alors par le milieu de [AC], donc J est le milieu de [AC].
La
médiatrice de [AC] passe par J
J appartient à la
médiatrice de [AB] et celle de [AC] donc J est le centre du
cercle circonscrit.
Si l'hypoténuse d'un triangle est
diamètre d'un cercle circonscrit
Alors ce triangle est
rectangle