Chapitre8: Fonctions linéaires et fonctions affines
I) Fonctions
Définition :
Une fonction est un procédé qui associe à une donnée un processus de calcul
Exemple : La fonction qui à un nombre x associe ce nombre augmenté de 10
sera noté
A) Fonction linéaire
Définition et notation
Soit a un nombre fixé
La fonction linéaire de
coefficient a désigne le processus qui associe à tout
nombre x le nombre
.
On dit que ax est l'image de x.
La fonction linéaire de
coefficient a peut se noter
si
on appelle f cette fonction on note f(x)=ax on lit f de x égale
à ax
Exemple : On note g la fonction qui à un carré associe son périmètre.
Ou g(x)=4x est la fonction correspondante
Les valeurs d'une fonction peuvent être représentée dans un tableau
|
x |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|---|---|---|---|---|---|
|
.g(x)=4x |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
Propriété :
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
Représentation graphique d'une fonction linéaire
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Pour tracer cette fonction il suffit de trouver un autre point par lequel passe cette droite car elle passe par le point (0,0)
Exemple :
Représenter la
fonction
f(0)=0 et f(1)=2
la droite passe par les points (0;0) et (1;2)
(d) est la droite d'équation y=2x
B)
Fonctions affines
Définition :
Soit a et b deux nombres
La fonction affine
désigne le procédé je multiplie par a puis
j'ajoute b
Le nombre a s'appelle le coefficient directeur
b s'appelle l'ordonnée à l'origine
Exemple : Pour mon abonnement internet je paye 10 € par an puis 2 € pour chaque heures de connexion. Pour un nombre x d'heures connexion le prix de revient sera de 2x+10
|
nombres d'heures |
1 |
2 |
10 |
x |
|---|---|---|---|---|
|
Prix sans la cotisation |
2 |
4 |
20 |
2x |
|
Prix total |
12 |
14 |
30 |
2x+10 |
Propriété :
Si a=0 la fonction affine
peut s'écrire
C'est alors une fonction constante tous les nombres on la même image.
Si b=0 la fonction affine
peut s'écrire
C'est une fonction linéaire.
Les fonction constantes et linéaires sont des fonctions affines particulières.
Représentation graphique d'une fonction affine
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine.
Pour tracer cette fonction il suffit de trouver un autre point par lequel passe cette droite car elle passe par le point (0,b)
Exemple :
Représenter la
fonction
et
la droite passe par les points (0;5) et (2;6)
II) Comment déterminer la fonction linéaire passant par un point ?
Exemple :
On veut déterminer la fonction linéaire telle que f(5)=-10
Comme f est linéaire alors f(x)=ax
donc f(5)=5a=-10 donc
donc
la fonction affine correspondante est la fonction f(x)=-2x
III) Comment déterminer la fonction affine passant par deux points ?
Exemple :
On veut déterminer la fonction affine telle que f(4)=2 et f(1)=-4
Comme f est une fonction affine f(x)=ax+b
f(4)=2 donc 4a+b=2
f(1)=-4 donc a+b=-4
on obtient le système d'équations
{
On soustrait membre à membre les égalités trouvées pour obtenir une seule
on a 3a=6 donc a=2
On détermine b en
remplaçant a dans l'une des deux égalités
soit 8+b=2
b=2-8
b=-6
f est alors donné par f(x)=2x-6