Chapitre 7 : Equations – Inéquations et Systèmes d'équations

I) Equations

Définition
Une équation est une égalité dans laquelle des nombres sont remplacés par des lettres. Résoudre une équation c'est donner la valeur de ces lettres.

Exemple :
résoudre l'équation (E) : x+3=7
(E) a pour solution x=4

Rappels
Dans toutes les équations suivantes x est l'inconnue

B) Equation produit

Propriété : Si Alors A=0 ou B=0
Si A=0 ou B=0 alors

Exemple : Résoudre l'équation (3x-6)(5x+2)=0
cette égalité est nulle si

l'équation (3x-6)(5x+2)=0 a pour solution 2 et

II) Inéquation

Propriété :

1) Une inégalité ne change pas si on ajoute aux deux termes un même nombre.

2) Une inégalité ne change pas si on soustrait aux deux termes un même nombre.

3) Une inégalité ne change pas si on multiplie les deux termes par un même nombre positif.

4) Une inégalité ne change pas si on divise les deux termes par un même nombre positif.

Par contre :

5) Une inégalité change si on multiplie les deux termes par un même nombre négatif.

6) Une inégalité change si on divise les deux termes par un même nombre négatif.

Définition
Une inéquation est une inégalité dans laquelle des nombres sont remplacés par des lettres
Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs qui vérifient l'inégalité.

Exemple 1: Résoudre
On cherche à isoler le x en divisant les deux termes par 4
Comme 4 >0 le signe ne change pas

La partie de la droite coloriée en rouge représente les solutions

Exemple 2 :
Résoudre -5x<20
On cherche à isoler le x en divisant les deux termes par -5
le signe change car -5<0

Exemple 3:
Résoudre
On cherche à isoler le x en ajoutant 6 au deux membres

III) Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un couple est solution du système (S) signifie que et vérifient les
deux équations. Résoudre le système (S), c'est trouver toutes les solutions.

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?

A) Par substitution
Exemple : Résoudre par la méthode de substitution

a) On exprime une des inconnues en fonction de l'autre
Dans (1) 2x+y=5 équivaut à y=5-2x

b) On remplace cette expression dans la deuxième équation
4x-5y=4x-5(5-2x)=-4 équivaut à 4x-25+10x=3
soit 4x+10x=3+25
14x=28 donc

c) On remplace alors x dans (1)

d) on vérifie ensuite que le couple trouvé est bien une solution du système.

Si (x;y)=(2 ;1) alors

Conclusion (2;1) est la seule solution du système

B) Par combinaison

Résoudre le système

On cherche à éliminer le x ou le y par combinaison des deux équations
La première égalité reste vraie si on la multiplie par 2

devient 8x-4y=14

On a le système suivant

(1')+(2) donne 11x=33 donc

On remplace x=3 dans (1)
4x-2y=7 devient
12-2y=7
-2y=7-12
-2y=-5

La solution du système est donc le couple